Question

已知椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程及其离心率；
（2）过椭圆右焦点的直线（不经过点）与椭圆交于两点，当的平分线为 时，求直线的斜率．

Answer 1

（1），；（2）.

解析试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的数形结合思想、转化能力、计算能力.第一问，椭圆过点P，说明点P在椭圆上，符合解析式，即可求出，从而得到椭圆的标准方程，通过椭圆的标准方程得到，，，从而得到离心率；第二问，由第一问得到椭圆右焦点F的坐标，由P、F点坐标可知轴，由题意得，令直线AB的方程与椭圆方程联立，得到A、B坐标，结合P点坐标，得出和代入到中，解出直线AB的斜率k的值.
（1）把点代入，可得．
故椭圆的方程为，椭圆的离心率为．　……4分
（2）由（1）知：．
当的平分线为时，由和知：轴．
记的斜率分别为．所以，的斜率满足……6分
设直线方程为，代入椭圆方程并整理可得，
．      
设，则
又，则，
．……………………8分
所以=
  …………11分
即．   ．             ……………13分
考点：椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题.