Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

，（a∈R）．
（1）若f（x）是奇函数，求a的值；
（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并证明；
（3）要使f（x）≧0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的奇函数所以f（x）+f（-x）=0求得．
（2）在定义域上任取两个变量，且界定大小再作差变形看符号．
（3）由f（x）≥0恒成立，可转化为a≥

2

2x+1

恒成立，再求得∵0＜

2

2x+1

＜2从而有a≥2．

解答：解：（1）因f（x）是R上的奇函数
．所以f（x）+f（-x）=0
所以过原点．a=1．
（2）定义域为R
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）
=a-

2

2x2+1

-a+

2

2x1+1

=-

2

2x2+1

+

2

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

.
∵y=2^x为增函数，且x₂＞x_1，
∴2x2＞2x1而分母大于0恒成立
∴f（x₂）-f（x₁）＞0∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）是R上的增函数
（3）由f（x）≥0恒成立，可得a≥

2

2x+1

恒成立
∵0＜

2

2x+1

＜2要使其恒成立，只需a≥2

点评：本题主要考查函数奇偶性定义求参数的值和单调性证明问题以及恒成立问题．