Question

在平面直角坐标系中，N为圆A：（x+1）²+y²=16上的一点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且。
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）试判断以PB为直径的圆与圆x²+y²=4的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由点M是BN中点，又，
可知PM垂直平分BN，所以，|PN|=|PB|，
又|PA|+|PN|=|AN|，
所以，|PA|+|PB|=4，|AB|=2，
由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为（a>b>0），
由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3，
可知动点P的轨迹方程为．
（2）设点P（x₀，y₀），PB的中点为Q，则，

即以PB为直径的圆的圆心为，
半径为r₁=1-x₀，
又圆x²+y²=4的圆心为O（0，0），半径r₂=2，
又
由0＜x₀＜1知，|OQ|＜r₁+r₂，
∴以PB为直径的圆与圆x²+y²=4相交。