Question

已知函数f（x）=x²-4x+3．
（Ⅰ）求证：对于任意的x（x∈R）都有f（sinx）≥0恒成立．
（Ⅱ）若锐角a满足f（4sinα）=f（2cosα），求sinα．
（Ⅲ）若f（2^x+2^-x+a）＜f（

3

2

）对于任意的x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）=x²-4x+3我们易得到x≤1或x≥3时，f（x）≥0，根据正弦函数的值域为[-1，1]，易得到对于任意的x（x∈R）都有f（sinx）≥0恒成立．
（Ⅱ）若锐角a满足f（4sinα）=f（2cosα），则4sinα=2cosα或4sinα+2cosα=4，结合同角三角函数关系即可得到对应sinα值．
（Ⅲ）若f（2^x+2^-x+a）＜f（

3

2

）对于任意的x∈[-1，1]恒成立，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．

解答：证明：（Ⅰ）∵x≤1或x≥3时，f（x）≥0
∵-1≤sinx≤1
∴f（sinx）≥0
解：（Ⅱ）∵f（4sinα）=f（2cosα）
∴4sinα=2cosα或4sinα+2cosα=4且α是锐角
∴sinα=

2 5

5

或sinα=

3

5

（Ⅲ）g（x）=2^x+2^-x+a（x∈[-1，1]）是偶函数，且g（x）在[-1，0]是减函数，在[0，1]上是增函数．
∴

g(x)min=2+a＞ 3 2 g(x)max= 5 2 +a＜ 5 2

解得-

1

2

＜a＜0

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，指数不等式的解法，三角函数的性质及同角三角函数的关系，其中根据二次函数的图象及性质，判断出函数f（x）=x²-4x+3的性质是解答本题的关键．