Question

在△ABC中，已知AB=2，BC=1，CA=

3

，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F使得△DEF为正三角形，设∠FEC=α．
（1）若α=60°，求△DEF的边长；
（2）求△DEF边长的最小值．

Answer 1

分析：（1）若α=60°，则可推断出FD∥CB，设正三角形DEF的边长为a，分别在△FCE中和Rt△AED中分别表示出CF和AF，利用AC的值求得a．
（2）设正三角形DEF的边长为a，则CF和AF可表示出，设出∠EDB=∠1，则可用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a，利用辅角公式化简后，利用正弦函数的值域求得a的最小值．

解答：解：（1）若α=60°，则FD∥CB，设正三角形DEF的边长为a，有atan60°+asin60°=

3

，
解得a=

2

3

．
（2）设正三角形DEF的边长为a，CF=a•sinα，AF=

3

-a•sinα
设∠EDB=∠1
∴∠1=180°-B-∠DEB=120°-∠DEBα=180°-60°-∠DEB=120°-∠DEB
∠ADF=180°-60°-∠1=120°-α
在△ADF中

a

sin30°

=

3 -asinα

sin∠ADF

?

a

1 2

=

3 -asinα

sin(120°-α)

?a[2sin(120°-α)+sinα]=

3

?a=

3

2sinα+ 3 cosα

=

3

7 sin(α+?)

≥

3

7

=

21

7

∴△DEF边长最小值为：

21

7

点评：本题中主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．