Question

如图，已知圆C₁的方程为，椭圆C₂的方程为（a＞b＞0），C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：由得，b²=c²，设椭圆方程为：，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得圆心C₁（2，1）为AB中点，A，B均在椭圆C₂上，，两式相减得：，，再由根的判别式结合题设条件可求出直线AB的方程和椭圆C₂的方程．
解答：由得，
∴a²=2c²，b²=c²，
设椭圆方程为：（2分）
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得圆心C₁（2，1）为AB中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A，B均在椭圆C₂上，
∴，
两式相减得：
即
∴，
即直线AB的方程为y-1=-（x-2）即x+y-3=0（6分）
将y=-x+3代入得3x²-12x+18-2b²=0（9分）
∴由直线AB与椭圆C₂相交，
∴△=12²-12（18-2b²）=24b²-72＞0即b²＞3，
又（11分）
即解得b²=8，故所求的椭圆方程为（13分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，合理解答，注意公式的合理运用．