题目内容

若方程 
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3
x3-x2-3x=b有3个不同实数解，则b的取值范围为
(-9，
5
3
)
(-9，
5
3
)
．
分析：构造f（x）=
1
3
x3-x2-3x，通过函数的导数求出函数的极值，然后利用三个不等实根，可得b的取值范围．
解答：解：假设f（x）=
1
3
x3-x2-3x，则f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3）
∴函数在（-∞，-1），（3，+∞）上单调增，在（-1，3）上单调减
∴f（-1）=
5
3
为极大值，f（3）=-9为极小值
所以即-9＜b＜
5
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时，函数f（x）=
1
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x3-x2-3x与函数f（x）=b有三个交点，方程有3个不等实根
故答案为：(-9，
5
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)．
点评：本题以方程为载体，考查方程根问题，考查函数与方程的联系，解题的关键是构造函数，利用导数求函数的极值．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
13
x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．
已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且函数G(x)=f(x)-
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x3-ax2-
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2
x在R上为减函数，求实数a的取值范围．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=
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x3-
1
2
x2+3x-
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，请你根据这一发现，求：
（1）函数f(x)=
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x3-
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x2+3x-
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对称中心为
(
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，1)
(
1
2
，1)
；
（2）计算f(
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2011
)+f(
2
2011
)+f(
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2011
)+f(
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2011
)+…+f(
2010
2011
)=
2010
2010
．
已知函数f(x)=
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x3-
a
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x2-2a2x+1(a＞0)．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=0恰有三个不同的实根，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知不等式f'（x）＜x2-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围．
（2010•广东模拟）已知函数f(x)=4x+ax2-
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x3(x∈R)．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，求实数a的取值组成的集合A；
（3）设关于x的方程f(x)=2x+
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x3的两个非零实根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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