Question

（2010•广东模拟）已知函数f(x)=4x+ax2-

2

3

x3(x∈R)．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，求实数a的取值组成的集合A；
（3）设关于x的方程f(x)=2x+

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3

x3的两个非零实根为x₁，x₂，试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入f（x），求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围即为单调递增区间，令导函数小于0得到的x的范围即为单调递减区间．
（2）求出导函数，令导函数大于等于0在[-1，1]上恒成立，结合二次函数的图象写出限制条件，求出a的范围．
（3）列出方程，转化为二次方程的根，根据根与系数的关系得到|x₁-x₂|_max，然后利用二次函数的图象列出要使不等式恒成立的限制条件，求出m的范围．

解答：解：（1）f(x)=4x+x2-

2

3

x3，
f'（x）=4+2x-2x²=-2（x²-x-2）=-2（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0⇒-1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-1，2）．
由f'（x）＜0⇒x＜-1，x＞2，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-1），（2，+∞）．…（4分）
（2）f'（x）=4+2ax-2x²，
因f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
所以f'（x）≥0恒成立．…（6分）
⇒

f′(-1)≥0 f′(1)≥0

⇒-1≤a≤1．
A=[-1，1]…（9分）．
（3）f(x)=2x+

1

3

x3⇒4x+ax2-

2

3

x3=2x+

1

3

x3，
2x+ax²-x³=0⇒x（x²-ax-2）=0
∴

x1+x2=a x1x2=-2

⇒|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

，
∴|x₁-x₂|_max=3，…（11分）
⇒只需m²+tm+1≥3对t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+tm-2，
即g（t）=m²+tm-2≥0，对t∈[-1，1]恒成立，…（13分）
⇒

g(-1)≥0 g(1)≥0

⇒m≤-2或m≥2
所以存在m∈（-∞，-2]∪[2，+∞）…（14分）

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间以及函数的单调性知道求参数的范围；考查结合二次函数的图象解决二次不等式恒成立问题．