Question

17.已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.

（Ⅰ）证明平面PED⊥平面PAB；

（Ⅱ）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.

Answer 1

17.本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.

（Ⅰ）证明：连接BD.

∵AB=AD,∠DAB=60°,∴△ADB为等边三角形.

∵E是AB中点，∴AB⊥DE.

∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD.

∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED.

∵AB面PAB，∴面PED⊥面PAB.                                  

（Ⅱ）解：∵AB⊥平面PED，PE面PED，AB⊥PE.

连结EF，∵EF面PED，∴AB⊥EF.

∴∠PEF为二面角P—AB—F的平面角. 

设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.

在△PEF中，PE=，EF=2，PF=1,

∴cosPEF==,

即二面角P—AB—F的平面角的余弦值为.