题目内容

已知在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N⁺）
（Ⅰ）求证：数列 $数学公式$ 是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若 $数学公式$ ，求数列{C_n}的前n项和T_n．

解：（Ⅰ）∵a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N⁺），∴3+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0，
即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3，故数列 $\text{[math]}$ 是以1为首项、以3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， $\text{[math]}$ =1+（n-1）3=3n-2，
∴a_n= $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴数列{C_n}的前n项和T_n=（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由条件可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =3，故数列 $\text{[math]}$ 是以1为首项、以3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， $\text{[math]}$ =1+（n-1）3=3n-2，从而可得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，用裂项法求出数列{C_n}的前n项和T_n 的值．
点评：本题主要考查等比、等差关系的确定，用裂项法进行数列求和，属于中档题．