Question

已知△ABC的三个角为A、B、C，三边为a、b、c，

m

=(sin(A+

π

2

)，2sin2

C

2

)，

n

=(a，c)，

m

•

n

=c，且A≠C，
（1）求角B；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用

m

•

n

=c，得到acosA=ccosC，通过正弦定理，求出A+C=

π

2

，即可求角B；
（2）化简sinA+sinC为一个角的一个三角函数的形式，根据角的范围即可求出sinA+sinC的取值范围

解答：解：（1）∵

m

=(cosA，1-cosC)，∴

m

•

n

=acosA+c-ccosC=c…（2分）
∴acosA=ccosC，
∴sin2A=sin2C，…（4分）
又A≠C，∴A+C=

π

2

，∴B=

π

2

．…（6分）
（2）sinA+sinC=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，…（8分），
∴A+

π

4

∈(

π

4

，

π

2

)∪(

π

2

，

3π

4

)，…（10分）∴sin(A+

π

4

)∈(

2

2

，1)，
∴sinA+sinC∈(1，

2

)…（14分）

点评：本题通过向量的数量积，正弦定理解答三角形中的边角关系，考查计算能力，转化思想的应用．