Question

已知数列{a_n}中，其中S_n为数列{a_n}的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2 （n∈N^*），a₁=1
（1）b_n=a_n+1-2a_n （n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列c_n=

an

2n

（n∈N^*）求证：数列{c_n}是等差数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式和前n项．

Answer 1

分析：（1）先根据已知条件S_n+1=4a_n+2得到S_n+2=4a_n+1+2，作差整理即可得到数列{b_n}是等比数列；
（2）直接根据数列{b_n}是等比数列，求出a_n+1-2a_n 的表达式；再代入数列{c_n}的作差式，整理即可得到结论．
（3）先根据数列{c_n}是等差数列得到的通项得到a_n=（3n-1）2^n-2；再结合S_n+1=4a_n+2 即可求出结论数列{a_n}的前n项和．

解答：解：（1）由S_n+1=4a_n+2 （n∈N^*）知，S_n+2=4a_n+1+2，两式相减得a_n+2=4a_n+1-4a_n
a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），又b_n=a_n+1-2a_n所以b_n+1=2b_n…①
已知S₂=4a₁+2，a₁=1解得a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3     …②
由①②得数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴b_n=3•2^n-1．…（4分）
（2）∵b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1．…
∵c_n=

an

2n

（n∈N^*），
∴c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

3•2n-1

2n+1

=

3

4

．
又c₁=

a1

2

=

1

2

，
故数列{c_n}是首项为

1

2

，公差是

3

4

的等差数列，
∴c_n=

3

4

n-

1

4

…（8分）
（3）∵c_n=

an

2n

（n∈N^*） 
又c_n=

3

4

n-

1

4

∴a_n=（3n-1）2^n-2…（10分）
当n≥2时，S_n=4a_n-1+2=（3n-4）2^n-1+2；
当n=1时S₁=a₁=1也适合上式，
所以{a_n}的前n项为S_n=（3n-4）2^n-1+2…（12分）

点评：本题主要考察数列的求和以及等差数列和等比数列的确定．解决本题的关键在于由S_n+1=4a_n+2 得到S_n+2=4a_n+1+2，进而作差整理得到数列{b_n}是等比数列．