Question

如图2-3-27,四棱锥P—ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点.

图2-3-27

(1)证明:BE∥平面PAD;

(2)平面EBD能垂直于平面ABCD吗,为什么？

Answer 1

思路分析:证线面平行,只要证出线平行于面内的一条直线即可.由E为PC的中点,所以取PD的中点F.

(1)证明:如图2-3-28,取PD的中点F,连结EF、AF,则EF∥CD,且CD=2EF.

图2-3-28

又∵AB∥CD,CD=2AB,∴EF∥AB且EF=AB.

∴四边形ABEF是平行四边形.

∴AF∥BE.而AF平面PAD.∴BE∥平面PAD.

(2)解:如图2-3-29假设平面EBD能垂直于底面ABCD,过点E作EO⊥BD于点O,连结AO、CO.

图2-3-29

∵面BDE∩面ABCD=BD,且EO面BDE,∴EO⊥面ABCD.

又∵PA⊥面ABCD,直线AC是PC在面ABCD上的射影,

∴平面ABCD的一条斜线PC上点E在面ABCD内的射影O在直线AC上.

同时,EO∥PA.又E为PC的中点,

∴O为AC的中点.由AB∥CD可知△ABO∽△CDO,且相似比为=.

∴AB=CD.这与已知条件四边形ABCD为梯形,且CD=2AB矛盾.

∴假设“平面BDE⊥平面ABCD”是不成立的.

因此,平面BDE不能垂直于平面ABCD.

  绿色通道:解答探索性问题时,可从假设命题成立入手,若导出矛盾,说明假设不成立;若导不出矛盾,说明假设成立.