Question

设x，y∈R⁺且xy-（x+y）=1，则x+y的最小值为

2+2

2

．

Answer 1

分析：根据题意，得xy=（x+y）+1，由基本不等式得xy≤（

x+y

2

）²，代入上式整理得（x+y）²-4（x+y）-4≥0，再利用换元法解出x+y≥2+2

2

，可得x+y的最小值为2+2

2

．

解答：解：∵xy-（x+y）=1，∴xy=（x+y）+1
∵xy≤（

x+y

2

）²，
∴（x+y）+1≤（

x+y

2

）²=

1

4

（x+y）²
整理得（x+y）²-4（x+y）-4≥0，
令t=x+y，得t²-4t-4≥0，解之得t≥2+2

2

（舍负）
∴x+y≥2+2

2

，可得x+y的最小值为2+2

2

故答案为：2+2

2

点评：本题给出关于正数x、y的等式，求x+y的最小值．着重考查了一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．