Question

在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且AC=BD=a，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为

 

．

Answer 1

分析：取AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H，连接EH，EF，FG，HG，可得EH∥BD，EH=

1

2

BD，并且FG∥BD，FG=

1

2

BD，可得四边形EFGH为平行四边形，再结合题中条件可得：四边形EFGH为菱形，进而根据有关的条件求出四边形的面积．

解答：解：取AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H，连接EH，EF，FG，HG，
所以得到：EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且EH=

1

2

BD．
同理，FG∥BD，且FG=

1

2

BD，．
所以EH∥FG，且EH=FG．
所以四边形EFGH为平行四边形．
又因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°
所以EF=EH=

1

2

a，即四边形EFGH为菱形，并且∠EFG=60°，
所以四边形EFGH的面积是2×

3

4

×(

a

2

)2=

3

8

a2
故答案为：

3

8

a2

点评：本题主要考查空间中线线平行的有关知识点与异面直线的夹角问题，以及考查四边形的面积，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，此题属于中档题，考查学生分析问题解决问题的能力与逻辑推理能力．