Question

设函数f（x）=sin（2x+∅）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

．
（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（I）由图象的一条对称轴是直线x=

π

8

，从而可得sin(2×

π

8

+∅)=±1，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向
（II）令2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，解x的范围即为所要找的单调增区间
（III）利用“五点作图法”做出函数的图象

解答：解：（Ⅰ）∵x=

π

8

是函数y=f（x）的图象的对称轴，
∴sin(2×

π

8

+?)=±1，
∴

π

4

+?=kπ+

π

2

，k∈Z．
∵-π＜?＜0，?=-

3π

4

．
由y=sin2x向右平移

3π

8

得到．（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知?=-

3π

4

，因此y=sin(2x-

3π

4

)．
由题意得2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
所以函数y=sin(2x-

3π

4

)的单调增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．（3分）
（Ⅲ）由y=sin(2x-

3π

4

)知

故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是
（4分）

点评：本题主要考查了三角函数yAsin（wx+∅）的对称性：在对称轴处取得函数的最值，图象的平移法则：“左加右减”，单调性、五点作图法的运用．