题目内容
（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知动直线
与椭圆相交于
、
两点.
①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；
②已知点
，求证：
为定值.
【答案】
（Ⅰ）
；（Ⅱ）（1）
；
（2）
。
【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．
（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为- 
，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．
解: （Ⅰ）因为
满足
，
，…2分
。解得
，则椭圆方程为 ……………4分
（Ⅱ）（1）将
代入中得
……………………6分
……………………………7分
因为
中点的横坐标为
，所以
，解得…………9分
（2）由（1）知，
所以
……………11分
………………12分
……………6分
练习册系列答案
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，且
。①求
的最大值及最小值；②求
、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
