Question

设集合A={x|y=

x-4 2-x

}，B={k|f(x)=

x2+x+1

kx2+kx+1

的定义域为R}
（1）求集合A、B；
（2）若f是A到B的函数，使得f：x→y=

2

x-1

，若a∈B，且a∉{y|y=

2

x-1

，x∈A}，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数的定义域的求法确定集合A，B；
（2）由y=

2

x-1

，可求函数值域，进而可求a的范围．

解答：解：（1）由

x-4

2-x

≥0，得，

(x-4)(x-2)≤0 x≠2

．
解得2＜x≤4；
要使函数f(x)=

x2+x+1

kx2+kx+1

的定义域为R，
当k=0时，分母为1，原函数有意义．
当k≠0时，需k²-4k＜0，解得0＜k＜4．
∴A=（2，4]，B=[0，4）；
（2）∵y=

2

x-1

（2＜x≤4），
∴y∈[

2

3

，2），由B=[0，4）．
又∵a∈B且a∉{y|y=f（x），x∈A}，
∴a∈[0，

2

3

）∪[2，4）．
∴实数a的取值范围是a∈[0，

2

3

)∪[2，4)．

点评：本题主要考查函数定义域的求法，考查了函数的值域及补集运算，解答（2）的关键是对题意的理解，是中档题．