Question

已知抛物线f（x）=ax²+bx+

1

4

与直线y=x相切于点A（1，1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据抛物线y=f（x）与直线y=x相切于点A（1，1）建立方程组，解之即可求出a和b，从而求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将x-t代入解析式，得到不等关系(

x

-1)2≤t≤(

x

+1)2（1≤x≤9），从而t≤[(

x

+1)2]min=4且t≥[(

x

-1)2]max=4，即可求出实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）依题意，有

f(1)=a+b+ 1 4 =1 f′(1)=2a+b=1

?a=

1

4

，b=

1

2

．
因此，f（x）的解析式为f（x）=(

x+1

2

)2；（6分）
（Ⅱ）由f（x-t）≤x（1≤x≤9）得(

x-t+1

2

)2≤x（1≤x≤9），解之得
(

x

-1)2≤t≤(

x

+1)2（1≤x≤9）
由此可得
t≤[(

x

+1)2]min=4且t≥[(

x

-1)2]max=4，
所以实数t的取值范围是{t|t=4}．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数解析式和函数恒成立等有关知识，属于中档题．