Question

（1）已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，求其前50项的和．
（2）已知数列{a_n}满足

1

2

a₁+

1

22

+…+

1

2n

a_n=2ⁿ⁺¹-1（n∈

•

N

），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由题意可得公比q≠1，由求和公式可得S₁₀=

a1(1-q10)

1-q

=10，S₂₀=

a1(1-q20)

1-q

=30，联立两式可得q¹⁰和

a1

1-q

的值，整体代入求和公式可得；（2）可得，当n≥2时，

1

2

a₁+

1

22

+…+

1

2n-1

a_n-1=2ⁿ-1，和已知式子相减，变形可得．

解答：解：（1）由题意可得公比q≠1，
∴S₁₀=

a1(1-q10)

1-q

=10 ①，S₂₀=

a1(1-q20)

1-q

=30 ②

②

①

可得q¹⁰=2，代回①式可得

a1

1-q

=-10，
∴S₅₀=

a1(1-q50)

1-q

=-10×（1-2⁵）=310
（2）∵

1

2

a₁+

1

22

+…+

1

2n

a_n=2ⁿ⁺¹-1，
∴当n≥2时，

1

2

a₁+

1

22

+…+

1

2n-1

a_n-1=2ⁿ-1，
两式相减可得

1

2n

a_n=（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ-1）=2ⁿ，
∴a_n=（2ⁿ）²=4ⁿ
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=4ⁿ

点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及整体法的思想，属中档题．