Question

B₁、B₂是椭圆短轴的两个端点，O为椭圆的中心，过左焦点F₁作长轴的垂线交椭圆于P，若|F₁B₂|是|OF₁|和|B₁B₂|的等比中项，则

|PF1|

|OB2|

的值是

 

．

Answer 1

分析：由题意可以先设出椭圆的方程，因为过左焦点F₁作长轴的垂线交椭圆于P，所以可以利用椭圆的方程及左焦点F₁求出|PF₁|=

b2

a

，然后在有|F₁B₂|是|OF₁|和|B₁B₂|的等比中项得到方程进而求出则

|PF1|

|OB2|

的值．

解答：解：由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
令x=-c得y²=

b4

a2

，∴|PF₁|=

b2

a

，
∴

|PF1|

|OB2|

=

b2 a

b

=

b

a

，
又由|F₁B₂|²=|OF₁|•|B₁B₂|得a²=2bc，
∴a⁴=4b²（a²-b²）．
∴（a²-2b²）²=0．∴a²=2b²．∴

b

a

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：此题重点考查了椭圆的标准方程及其性质，等比中项等，还考查了学生对已知信息的合理顺序的应用．