题目内容
设函数f（x）=ax+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数y=f-1（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=loga（x-a），h（x）=f-1（x）+g（x），如果当x∈[a+2，+∞）时，h（x）≤1恒成立，求a的取值范围．
（1）求函数y=f-1（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=loga（x-a），h（x）=f-1（x）+g（x），如果当x∈[a+2，+∞）时，h（x）≤1恒成立，求a的取值范围．
（1）f-1（x）=loga（x-3a），x∈（3a，+∞）．…（4分）
（2）h（x）=f-1（x）+g（x）=loga（x-3a）+loga（x-a）=loga（x2-4ax+3a2），x∈（3a，+∞）．…（6分）
依题意，a+2＞3a?0＜a＜1．…（8分）
由h（x）≤1?loga（x2-4ax+3a2）≤1?x2-4ax+3a2≥a，即x2-4ax+3a2-a≥0．…（10分）
设T（x）=x2-4ax+3a2-a，其对称轴x=2a＜a+2，所以函数T（x）在[a+2，+∞）单调递减．
由T（x）min=T（a+2）=（a+2）2-4a（a+2）+3a2-a=4-5a≥0，解得a≤
．…（13分）
又0＜a＜1，所以a的取值范围是( 0 ，
]．…（14分）
（2）h（x）=f-1（x）+g（x）=loga（x-3a）+loga（x-a）=loga（x2-4ax+3a2），x∈（3a，+∞）．…（6分）
依题意，a+2＞3a?0＜a＜1．…（8分）
由h（x）≤1?loga（x2-4ax+3a2）≤1?x2-4ax+3a2≥a，即x2-4ax+3a2-a≥0．…（10分）
设T（x）=x2-4ax+3a2-a，其对称轴x=2a＜a+2，所以函数T（x）在[a+2，+∞）单调递减．
由T（x）min=T（a+2）=（a+2）2-4a（a+2）+3a2-a=4-5a≥0，解得a≤
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又0＜a＜1，所以a的取值范围是( 0 ，
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练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=(a| x |
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| ∫ | 2π π |
A、-
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| B、-160 | ||
| C、160 | ||
| D、20 |