题目内容
【题目】点
是抛物线
：
的焦点，动直线
过点且与抛物线相交于
，
两点.当直线变化时，
的最小值为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点，分别作抛物线的切线
，
，与相交于点
，，与
轴分别交于点
，
，求证：
与
的面积之比为定值（
为坐标原点）.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）证明直线的斜率为
时不合题意，当直线的斜率不为时，设直线
的方程为
，与抛物线方程联立，消元，用根与系数的关系得出
两点横坐标的关系，利用焦点弦长计算公式求
，利用二次函数的性质得出
的值，进而得出抛物线的方程；
（2）用两点的坐标表示直线
，
的方程，再求点
的横坐标，根据三角形的面积公式求比值，即可得出结论.
（1）设
，由已知得当直线的斜率为时，与
有且只有一个交点，此时不合题意
设直线的方程为
联立直线与抛物线的方程，并消去
，得
，则
显然当
时，
取得最小值，则
故抛物线的标准方程为
（2）证明：不妨设
易得切线
，将
代入，整理得
进而可知
同理可得
联立
，消去
，整理得到
即点的横坐标为
故
故
与
的面积之比为定值
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