Question

如图在△ABC中，D为BC边的中点．

AM

=m

AB

，

AN

=n

AC

，MN与AD交于P点，

AP

=x

AD

．
（1）当m=1，n=

1

2

时，求x的值；
（2）当m，n∈（0，1）时，试用m，n表示x．．

Answer 1

分析：（1）当m=1，n=

1

2

时，点P为△ABC的重心，由此能求出x的值．

(2)设 AP =p AM +q AN

，由M，P，N共线，知p+q=1.x

AD

=pm

AB

+qn

AC

，又∵

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，

x

2

(

AB

+

AC

)=pm

AB

+qn

AC

．由

AB

与

AC

不共线，能用用m，n表示x．

解答：解：（1）当m=1，n=

1

2

时，
点P为△ABC的重心，
∴x=

2

3

．

(2)设 AP =p AM +q AN

，
∵M，P，N共线
∴p+q=1
∴x

AD

=pm

AB

+qn

AC

，又∵

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)
∴

x

2

(

AB

+

AC

)=pm

AB

+qn

AC

∵

AB

与

AC

不共线
∴

x 2 =pm x 2 =qn

⇒

1

m

+

1

n

=

2

x

即x=

2mn

m+n

点评：本题考查向量在几何中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形的重心性质的运用．