Question

（2012•广东）设数列{a_n}前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足Tn=2Sn-n2，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，T₁=2S₁-1．由T₁=S₁=a₁，所以a₁=2a₁-1，能求出a₁．
（2）当n≥2时，Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1，所以S_n=2S_n-1+2n-1，S_n+1=2S_n+2n+1，故a_n+1=2a_n+2，所以

an+1+2

an+2

=2（n≥2），由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）当n=1时，T₁=2S₁-1
因为T₁=S₁=a₁，所以a₁=2a₁-1，求得a₁=1
（2）当n≥2时，
Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1
所以S_n=2S_n-1+2n-1①
所以S_n+1=2S_n+2n+1②
②-①得 a_n+1=2a_n+2
所以a_n+1+2=2（a_n+2），即

an+1+2

an+2

=2（n≥2）
求得a₁+2=3，a₂+2=6，则

a2+2

a1+2

=2
所以{a_n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列
所以an+2=3•2n-1
所以an=3•2n-1-2，n∈N^*．

点评：本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用．