Question

（2012•闸北区二模）设椭圆C：x²+2y²=2b²（常数b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，M，N是直线l：x=2b上的两个动点，

F1M

•

F2N

=0．
（1）若|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，求b的值；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设M（2b，y₁），N（2b，y₂），根据椭圆方程得到椭圆左、右焦点的坐标，从而得到向量

F1M

、

F2N

的坐标，结合向量数量积的坐标公式和向量模的公式建立关于b、y₁、y₂的方程组，消去y₁、y₂，可得正数b的值．
（2）由（1）设的坐标，得|MN|=|y₁-y₂|，将其平方再用基本不等式，即可得到当且仅当y₁、y₂互为相反数且其中一个为

3

b时，|MN|²的最小值为12b²，由此得到|MN|的最小值．

解答：解：设M（2b，y₁），N（2b，y₂）…（1分）
∵椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，∴椭圆的左右焦点分别为F₁（-b，0），F₂（b，0），
由此可得：

F1M

=(3b，y1)，

F2N

=(b，y2)，
∵

F1M

•

F2N

=0，∴3b•b+y₁y₂=0，得y1y2=-3b2①…（3分）
（1）由|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

(3b)2+ y 2 1

=2

5

…②，

b2+ y 2 2

=2

5

③…（5分）
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，可得b=

2

． …（8分）
（2）∵M（2b，y₁），N（2b，y₂），
∴|MN|2=(y1-y2)2=

y

2 1

+

y

2 2

-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=12b2，（12分）
当且仅当y1=-y2=

3

b或y2=-y1=

3

b时，|MN|取最小值2

3

b． …（14分）

点评：本题以平面向量的坐标运算为载体，考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和向量的数量积运算等知识，属于基础题．