Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2-

3

x

（x＞0）．
（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；
（2）试判断曲线y=f（x）和y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用作差法构造新函数，判断新函数在x＞0时取值情况判断f（x）-g（x）的差与0的大小关系即可．
（2）假设存在公切线，设出两个切点，分别求出切线，根据两条切线是相同的，列出方程求解进行判断即可．

解答：解：（1）设F（x）=f（x）-g（x），则F′(x)=

1

x

-

3

x2

，
由F'（x）=0，得x=3，当0＜x＜3时，F'（x）＜0，当x＞3时F'（x）＞0F（x）在区间（0，3）单调递减，在区间（3，+∞）单调递增，
所以F（x）取得最小值为F（3）=ln3-1＞0，
∴F（x）＞0，即f（x）＞g（x）
（2）假设曲线f（x）与g（x）有公切线，切点分别为P（x₀，lnx₀）和Q(x1，2-

3

x1

)．
因为f′(x)=

1

x

，g′(x)=

3

x2

，所以分别以P（x₀，lnx₀）和Q(x1，2-

3

x1

)为切线的切线方程为y=

x

x0

+lnx0-1，y=

3x

x 2 1

+2-

6

x1

．
令

1 x0 = 3 x 2 1 lnx0-1=2- 6 x1

，即2lnx1+

6

x1

-(3+ln3)=0．
令h(x)=2lnx1+

6

x1

-(3+ln3)．
所以由h′(x)=

2

x1

-

6

x 2 1

=0，得x₁=3．
显然，当0＜x₁＜3时，h'（x）＜0，当x₁＞3时，h'（x）＞0，
所以h（x）_min=ln3-1＞0，
所以方程2lnx1+

6

x1

-(3+ln3)=0．无解，
故二者没有公切线．
所以曲线y=f（x）和y=g（x）是否不存在公切线．

点评：本题考查了作差法比较两个数的大小，考查了导数的几何意义，综合性较强，对学生有较高的要求．属于中档题．