Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（p，q为常数，n∈N^*），如果：a₁=2，a₂=1，a₃=q-3p．
（1）求p，q的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

2m

2m+1

成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意，知

S2=pa1+q S2=pS2+q

即

3=2p+q 3+q-3p=3p+q

，解之得

p= 1 2 q=2

…（4分）
（2）由（1）知，S_n+1=

1

2

S_n+2，①
当n≥2时，S_n=

1

2

S_n-1+2，②
①-②得，a_n+1=

1

2

a_n（n≥2），…（6分）
又a₂=

1

2

a₁，所以数列{a_n}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列，
所以a_n=

1

2n-2

．…（8分）
（3）由（2）得，Sn=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

2m

2m+1

，得

4(1- 1 2n )-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

2m

2m+1

，即

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

2m

2m+1

，…（10分）
即

2

2n(4-m)-2

＞

1

2m+1

，
因为2^m+1＞0，所以2ⁿ（4-m）＞2，
所以m＜4，且2＜2ⁿ（4-m）＜2^m+1+4，①
因为m∈N^*，所以m=1或2或3．…（12分）
当m=1时，由①得，2＜2ⁿ×3＜8，所以n=1；
当m=2时，由①得，2＜2ⁿ×2＜12，所以n=1或2；
当m=3时，由①得，2＜2ⁿ＜20，所以n=2或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．…（16分）