题目内容

过双曲线 $数学公式$ 的左焦点F（-c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y²=4cx，所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，得到PF=2b，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．
解答：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
因为抛物线为y²=4cx，
所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，
E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，
那么OE∥PF'
因为OE=a 那么PF'=2a
又PF'⊥PF，FF'=2c 所以PF=2b
设P（x，y） x+c=2a x=2a-c
过点F作x轴的垂线，
点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本小题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．