Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）设g（x）=

1-x

kx

+lnx，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导函数，结合函数f（x）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直，可求出m值，进而得到函数f（x）及其导函数的解析式，列表分析函数的单调性，可得函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，可得函数f（x）在区间[0，1]上的最小值大于g（x）在区间（0，1]上的最小值，分类讨论后，综合讨论结果可得实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得m=-1或m=-7
∵m＞-2，∴m=-1
∴f'（x）=-3x²+4x-1，
f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x₂=

1

3

，

∴函数f（x）的极小值为f（

1

3

）=

50

27

．函数f（x）的极大值为f（1）=2．
∵f（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1）
∴函数f（x）的零点是2
（II）由（I）知，当x∈[0，1]时，f（x）_min=

50

27

．
故“对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立”，等价于“函数f（x）在区间[0，1]上的最小值大于g（x）在区间（0，1]上的最小值”
即当x∈[0，1]时，g（x）_min＜

50

27

．
∵g（x）=

1-x

kx

+lnx，
∴g′（x）=-

1

kx2

+

1

x

=

x- 1 k

x2

①当k＜0时，因为x∈[0，1]，故g（x）=

1-x

kx

+lnx≤0＜

50

27

，符号题意；
②当0＜k≤1时，

1

k

≥1，故x∈[0，1]时，g′（x）≤0，g（x）单调递减
∴g（x）_min=g（1）=0＜

50

27

，符号题意；
③当k＞1时，0＜

1

k

＜1，
则当x∈（0，

1

k

）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
当x∈（

1

k

，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
∴x∈[0，1]时，g（x）_min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

令h（x）=lnx-x-

23

27

（0＜x＜1）
则h′（x）=

1

x

-1＞0
即h（x）在（0，1）上单调递增
∴x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=-

50

27

＜0，即lnx-x＜

23

27

∴g（x）_min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

＜1+

23

27

=

50

27

，符号题意；
综上所述，对于任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立
则实数k的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，熟练掌握导数在求函数单调区间及极值时的方法和步骤是解答的关键．