Question

已知平面向量a=(,-),b=(,).

(1)证明:a⊥b;

(2)若存在不为零的实数t,x,y,使得c=a+2xb,d=-ya+(t-2x²)b,且c⊥d,试求函数y=f(x)的表达式；

(3)若t∈［6,+∞］,当f(x)在区间［0,1］上的最大值为12时,求此时t的值.

Answer 1

(1)证明：∵a·b=-=0，∴a⊥b.

(2)解：c·d=-y+2x(t-2x²)=0f(x)=2tx-4x³.

(3)解：若存在t满足条件，则f′(x)=2t-12x²(t≥0),由f′(x)=0x=,

当0≤x＜,f′(x)＞0,f(x)在［0，］上递增;

当x＞时，f′(x)＜0,f(x)在（,+∞）上递减.

∴t≥6时，f(x)在［0，1］递增，f(x)_max=f(1)=2t-4=12,∴t=8∈［6,+∞).

综上，存在常数t=8，使f(x)有最大值为12.