Question

【题目】已知函数f（x）=4lnx﹣x+ ， g（x）=2x2﹣bx+20，若对于任意x1∈（0，2），都存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数b的取值范围是

Answer 1

【答案】[13，+∞）
【解析】∵函数f（x）=4lnx﹣x+ ， （x＞0）
∴f′（x）=﹣1﹣=﹣ ，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣1+3=2；
∵g（x）=2x2﹣bx+20=2（x﹣）2+4﹣ ， 对称轴x= ， x∈[1，2]，
当＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=2﹣b+20=22﹣b；
当1＜＜2时，g（x）在x=处取最小值g（x）min=g（b）=4﹣；
当＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min=g（2）=8﹣2b+20=28﹣2b；
∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
当＜1时，2≥22﹣b，解得b≥20，故b无解；
当＞2时，2≥28﹣2b，解得b≥13，
综上：b≥13，
所以答案是：[13，+∞）．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．