题目内容
设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；
(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．
（1）
（2）
【解析】(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝
.故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}．因此区间I＝
，I的长度为.
(2)设d(a)＝
，则d′(a)＝
.
令d′(a)＝0，得a＝1.由于0<k<1，故当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增；
当1<a≤1＋k时，d′(a)<0，d(a)单调递减．
所以当1－k≤a≤1＋k时，
d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．
而
＝
＝
<1.
故d(1－k)<d(1＋k)．因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k，1＋k]上取得最小值
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