Question

【题目】已知函数 (为实常数).

(1)若， ，求的单调区间；

(2)若，且，求函数在上的最小值及相应的值；

(3)设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）当， 时，最小值为1；当， 时，最小值为； （Ⅲ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）代入的值，求得，然后由的符号得到单调区间；（Ⅱ）分与两种情况讨论的单调性，求出各段的最小值；（Ⅲ）根据题意将问题转化为，设，然后通过求导讨论函数的单调性求得实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ） 时， ，

定义域为，

在上， ，当时， ；当时，

所以，函数的单调增区间为；单调减区间为

（Ⅱ）因为，所以， ， ，

（Ⅰ）若，在上非负（仅当时， ），

故函数在上是增函数，此时

（Ⅱ）若， ，

当时， ，

当时， ，此时是减函数；

当时， ，此时是增函数，

故

（Ⅲ），

不等式，即可化为．

因为， 所以且等号不能同时取，

所以，即，因而（）

令（），又，

当时， ， ，

从而（仅当时取等号），所以在上为增函数，

故的最小值为，所以实数的取值范围是