Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与两数中至少有一个属于A．
（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：a₁=1，且；
（Ⅲ）证明：当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（Ⅱ）由性质P，知a_na_n＞a_n，故a_na_n∉A，从而1=∈A，a₁=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a₁+a₂+…+a_n，命题得证；
（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．
解答：解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，
∴该数集不具有性质P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，
∴该数集具有性质P．
（Ⅱ）∵A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，
∴a_na_n与中至少有一个属于A，
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，∴a_na_n＞a_n
故a_na_n∉A．
从而1=∈A，a₁=1．
∵1=a₁＜a₂＜…a_n，n≥2，∴a_ka_n＞a_n（k=2，3，4，…，n），
故a_ka_n∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵＜＜…＜＜，
∴，，…，，
从而++…++=a₁+a₂+…+a_n，
∴且；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，
有，，即a₅=a₂•a₄=a₃²，
∵1=a₁＜a₂＜…＜a₅，∴a₃a₄＞a₂a₄=a₅，∴a₃a₄∉A，
由A具有性质P可知∈A．
由a₂•a₄=a₃²，得∈A，
且1＜，∴，
∴，
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ 是首项为1，公比为a₂等比数列．
点评：本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．