Question

【题目】设函数 ．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）存在极值，对于任意的0＜x1＜x2 ， 存在正实数x0 ， 使得f（x1）﹣f（x2）=f'（x0）（x1﹣x2），试判断x1+x2与2x0的大小关系并给出证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）= ﹣ax+（4﹣a）=﹣ ，
当a≤0时，则f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a＞0时，则由f′（x）=0得，x= ，x=﹣1（舍去）；
当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0；
所以f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减；
综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a＞0时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）存在极值．
f（x1）﹣f（x2）=4（lnx1﹣lnx2）﹣ a（x1+x2）（x1﹣x2）+（4﹣a）（x1﹣x2），
由题设得f′（x0）= = ﹣ a（x1+x2）+（4﹣a），
又f′（ ）= ﹣a +4﹣a，
所以f′（x0）﹣f′（ ）= ，
设t= ，则t＞1，则 =lnt﹣ （t＞1），
令g（t）=lnt﹣ （t＞1），则g′（t）= ＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，
所以g（t）＞g（1）=0，故 ＞0，
又因为x2﹣x1＞0，因此f′（x0）﹣f′（ ）＞0，即f′（ ）＜f′（x0），
又由f′（x） ﹣ax+（4﹣a）知f′（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以 ＞x0 ， 即x1+x2＞2x0
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）分别计算f′（x0）和f′（ ），作差得到f′（x0）﹣f′（ ）= ，设t= ，则t＞1，得到关于t的函数，根据函数的单调性判断即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．