Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-

1

2

，求证：直线AB过x轴上一定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得抛物线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）解：因为抛物线y²=2px的焦点坐标为（1，0），所以

p

2

=1，p=2．
得到抛物线方程为y²=4x．----------------------------------（4分）
（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A(

t2

4

，t)，B(

t2

4

，-t)
因为直线OA，OB的斜率之积为-

1

2

，所以

t

t2 4

-t

t2 4

=-

1

2

，化简得t²=32．
所以（8，t），B（8，-t），此时直线AB的方程为x=8．----------------（7分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
联立方程

y2=4x y=kx+b

，化简得ky²-4y+4b=0．------------------（9分）
根据韦达定理得到yAyB=

4b

k

，
因为直线OA，OB的斜率之积为-

1

2

，所以得到

yA

xA

yB

xB

=-

1

2

，即x_Ax_B+2y_Ay_B=0．--------------------（11分）
得到

yA2

4

yB2

4

+2yAyB=0，
化简得到y_Ay_B=0（舍）或y_Ay_B=-32．--------------------（12分）
又因为yAyB=

4b

k

=-32，b=-8k，
所以y=kx-8k，即y=k（x-8）．
综上所述，直线AB过定点（8，0）．-------------------------（14分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．