Question

如图，在半径为、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形，并且与的平分线平行，设．

（1）试写出用表示长方形的面积的函数；
（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问当矩形的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．

Answer 1

（1）（2）.

解析试题分析：（1）由条件得，
从而      4分
（2）由（1）得，
所以当时，即取得最大值，为      7分
此时，，
所以为正方形，依题意知制成的圆柱底面应是由围成的圆，
从而由周长，得其半径为.    11分

另一方面，如图所示，设圆与边切于点，连结，
.
设两小圆的半径为，则，
且，从而所以，
因，
所以能作出满足条件的两个圆.此时圆柱的体积.……………16分
考点：本题主要考查三角函数模型，圆柱的体积计算，三角函数倍半公式。
点评：中档题，结合图形特征，利用直角三角形中的边角关系，建立函数模型。确定函数最值过程中，可利用导数。