Question

（2012•黔东南州一模）△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，O是其内切圆的圆心，则

OA

•

OB

=

-5

．

Answer 1

分析：根据题意，可得△ABC是以AB为斜边的直角三角形，内切圆半径r=

1

2

（AC+BC-AB）=1．再以C为原点，CA、CB所在直线为x、y轴，建立如图坐标系，算出向量

OA

、

OB

坐标，即可算出

OA

•

OB

的值．

解答：解：以C为原点，CA、CB所在直线为x、y轴，建立如图坐标系
可得A（3，0），B（0，4），
∵△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=25=AB²，得AC⊥BC
由此可得△ABC内切圆的半径为r=

1

2

（AC+BC-AB）=1
∴内切圆心O（1，1），
可得

OA

=（2，-1），

OB

=（-1，3）
∴

OA

•

OB

=2×（-1）+（-1）×3=-5
故答案为：-5

点评：本题给出直角三角形的三条边的长度，求由内心指向两个锐角顶点向量的数量积，着重考查了三角形内切圆的性质和向量数量积的运算等知识，属于基础题．