题目内容

在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会．如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品．已知某参与者答对每道题答对的概率都是 $数学公式$ ，且每道题答对与否互不影响．
（1）求该参与者获得纪念品的概率；
（2）记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．

解：（1）设“参与者获得纪念品”为事件A，则
P（A）=1-P $\text{[math]}$ =1-[（ $\text{[math]}$ ）⁵+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）⁴（ $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ ．（4分）
故该参与者获得纪念品的概率为 $\text{[math]}$ ．（5分）
（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，
P（ξ=2）=（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ；P（ξ=3）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
P（ξ=4）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）² $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；P（ξ=5）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）³+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）⁴= $\text{[math]}$ ．（8分）
故ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

Eξ=2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +5× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）设“参与者获得纪念品”为事件A，求出其对立事件的概率，即可得到结论；
（2）ξ的可能取值为2，3，4，5，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列及期望．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与期望，理解变量的取值及含义是关键．