Question

已知f(x)=

ax

a+x

(x≠-a)，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在数列{a_n}中，a₁=1，an+1=f(an)，(n∈N*)，计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为f(x)=

ax

a+x

，f（2）=1，可得

2a

a+2

=1，由此解得a的值．
（Ⅱ）根据在{a_n}中，a₁=1，an+1=f(an)=

2an

2+an

，令n=1、2、3，即可求得a₂，a₃，a₄的值，由此猜想通项公式a_n．
（Ⅲ）由题意可得

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，根据等差数列的通项公式求出{

1

an

}的通项公式，即可得到{a_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=

ax

a+x

，f（2）=1，
所以

2a

a+2

=1，解得 a=2．  …（2分）
（Ⅱ）在{a_n}中，因为a₁=1，an+1=f(an)=

2an

2+an

．
所以a2=

2a1

2+a1

=

2

3

，a3=

2a2

2+a2

=

1

2

=

2

4

，a4=

2a3

2+a3

=

2

5

，
所以猜想{a_n}的通项公式为an=

2

n+1

．…（6分）
（Ⅲ）证明：因为a₁=1，an+1=

2an

2+an

，
所以

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

．
所以{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，公差为

1

2

的等差数列．
所以

1

an

=1+(n-1)

1

2

=

1

2

n+

1

2

，所以通项公式an=

2

n+1

．…（9分）

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，不完全归纳法的应用，用综合法证明等式，式子的变形是解题的关键，属于中档题．