Question

设函数（），．

(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；

(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

．解：（1）因为，所以，令

得：，此时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分

则点到直线的距离为，

即，解之得．　　　　　　　　　　　…………4分

（2）解法一：不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，　　　　　　…………6分

令，由且，

所以函数的一个零点在区间，

则另一个零点一定在区间，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分

故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………10分

解法二：恰有三个整数解，故，即，…………6分

，

所以，又因为，　　　　　　　　　　　…………8分

所以，解之得．　　　　　　　　　　　…………10分

（3）设，则．

所以当时，；当时，．

因此时，取得最小值，

则与的图象在处有公共点．　　　　　　　…………12分

设与存在 “分界线”，方程为，

即，

由在恒成立，则在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………14分

下面证明恒成立．

 设，则．

 所以当时，；当时，．

因此时取得最大值，则成立．

故所求“分界线”方程为：．　　　　　　　　　　　　…………16分