Question

设函数f（x）=

1-x2   x∈[0，1] 1 x      x∈[1，e]

（其中e为自然对数的底数），则

∫

e 0

f(x)dx的值为（　　）

• A．

  π

  2

  +1
• B．

  π

  2

  -1
• C．

  π

  4

  +1
• D．

  π

  4

  -1

Answer 1

分析：根据题意，题中的积分等于函数y=

1-x2

在区间[0，1]上的积分值与函数y=

1

x

区间[1，e]上的积分值的和，由此结合定积分的几何意义和计算公式，即可算出所求积分的值．

解答：解：根据题意，得

∫

e 0

f(x)dx=

∫

1 0

1-x2

dx+

∫

e 1

1

x

dx
∵根据定积分的几何意义，可得

∫

1 0

1-x2

dx等于单位圆x²+y²=1，
位于第一象限部分扇形的面积
∴

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

π×12=

π

4

又∵

∫

e 1

1

x

dx=ln

x|

e 1

=（lne-ln1）=1
∴

∫

e 0

f(x)dx=

∫

1 0

1-x2

dx+

∫

e 1

1

x

dx=

π

4

+1
故选：C

点评：本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．