Question

（2013•怀化二模）函数y=3

x-1

+4

5-x

的最大值是

10

．

Answer 1

分析：根据

x-1

与

5-x

的平方和等于4，进行三角换元：设

x-1

=2cosα，得

5-x

=2sinα，原函数化成y=6cosα+8sinα，利用辅助角公式合并得y=10sin（α+θ），结合三角函数的图象与性质即可得到函数的最大值．

解答：解：∵(

x-1

)2+(

5-x

)2=4，
∴设

x-1

=2cosα，得

5-x

=2sinα，（0≤α≤

π

2

）
因此，函数y=3

x-1

+4

5-x

=6cosα+8sinα=10sin（α+θ）
其中θ是满足tanθ=

3

4

的锐角
当且仅当α+θ=

π

2

，即cosα=

4

5

且sinα=

3

5

时，函数的最大值是10
故答案为：10

点评：本题给出含有根号的函数，求函数的最大值，着重考查了利用三角换元求函数的值域和三角恒等变换等知识，属于中档题．