Question

已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…，
证明：（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；　　　
（Ⅱ）。

Answer 1

证明：（Ⅰ）先用数学归纳法证明，ｎ=1，2，3，…
（i）当n=1时，由已知显然结论成立；
（ii）假设当n=k时结论成立，即，
因为0＜x＜1时，，
所以f（x）在（0，1）上是增函数，
又f（x）在[0，1]上连续，
从而，
故n=k+1时，结论成立；
由（i）、（ii）可知，对一切正整数都成立，
又因为时，，
所以；
综上所述，。
（Ⅱ）设函数，0＜x＜1，
由（Ⅰ）知，当0＜x＜1时，sinx＜x，
从而，
所以g（x）在（0，1）上是增函数，
又g（x）在[0，1]上连续，且g（0）=0，
所以当0＜x＜1时，g（x）＞0成立，
于是，
故。