Question

在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，
（1）建立y与x的函数关系式，并指出其定义域．
（2）求y的最小值，并指出x的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出相应的图形，可设∠ADC=θ，根据邻补角定义可得∠ADB=π-θ，由AD为中线，得到D为BC中点，根据BC的长，得出BD与CD的长，再由AB+AC=3，AB=x，表示出AC，再由AD=y，在三角形ADC中，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形ABD中，利用余弦定理列出另一个关系式，记作②，①+②整理后即可得到y与x的关系式，根据AC大于0，且由三角形的两边之和大于第三边可列出关于x的不等式组，求出不等式的解集即可得到函数的定义域；
（2）把第一问得出的关系式的被开方数配方后，根据x的范围，利用二次函数求出最值的方法即可得出被开方数的最小值，可得出y的最小值，

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

（1）设∠ADC=θ，则∠ADB=π-θ，…（2分）
∵AB=x，BC=2，AB+AC=3，中线AD=y，
∴BD=CD=1，AC=3-x，
在△ADC中，根据余弦定理AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC得：
1²+y²-2ycosθ=（3-x）²，①…（4分）
在△ADB中，根据余弦定理AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB得：
1²+y²-2ycos（π-θ）=1²+y²+2ycosθ=x²，②…（6分）
由①+②整理得：y=

x2-3x+ 7 2

，…（8分）
其中

0＜x＜3 x+2＞3-x (3-x)+2＞x

，解得：

1

2

＜x＜

5

2

，
∴函数的定义域为（

1

2

，

5

2

）；…（10分）
（2）y=

x2-3x+ 7 2

=

(x- 3 2 )2+ 5 4

，x∈（

1

2

，

5

2

），…（12分）
∴当x=

3

2

时，（x-

3

2

）²+

5

4

的最小值为

5

4

，
则ymin=

5

2

．…（14分）

点评：此题考查了余弦定理，二次函数的性质，以及三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理及二次函数的性质是解本题的关键．