题目内容

如图，四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABEF，四边形ABEF是梯形∠EFA=∠FAB=90°，EF=FA=AD=1，点M是DF的中点， $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：BF∥平面AMC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的余弦值．

（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点G，∴点G是BD的中点．
∵点M是DF的中点，∴MG是△BDF的中位线．∴BF∥MG．
∵MG?平面AMC，BF?平面AMC，∴BF∥平面AMC．…（5分）
（Ⅱ）解：∵四边形ABEF是梯形，∠EFA=∠FAB=90°，∴AB⊥AF
又四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又AD∩AF=A，∴AB⊥面ADF
又BC∥AD，∴CD⊥面ADF，∴CD⊥DF．
在Rt△CDM中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由CD²+DM²=CM²，可求得AB=CD=2…（6分）
以A为原点，以AF，AB，AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（7分）

∴A（0，0，0），C（0，2，1），E（1，1，0），F（1，0，0），
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
设平面ACE的法向量 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
令x=1，则y=-1，z=2，∴ $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ 是平面ACB的法向量，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
如图所示，二面角B-AC-E为锐角，
∴二面角B-AC-E的余弦值是 $\text{[math]}$ ．…（13分）
分析：（Ⅰ）连接BD，交AC于点G，利用三角形中位线的性质，可得BF∥MG，利用线面平行的判定，可得BF∥平面AMC；
（Ⅱ）以A为原点，以AF，AB，AD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，确定 $\text{[math]}$ ，平面ACE的法向量 $\text{[math]}$ ，利用向量的夹角公式，即可求得二面角B-AC-E的余弦值．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是正确运用线面平行的判定，利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．