Question

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（I）求证：BC⊥平面APC；
（Ⅱ）若BC=3，AB=1O，求点B到平面DCM的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；
（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V_M-BCD=V_B-MDC．分别求出MD长，及△BCD和△MDC面积，利用等积法可得答案．
解答：证明：（Ⅰ）如图，
∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，
∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP，
∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC，…（6分）
解：（Ⅱ）记点B到平面MDC的距离为h，则有V_M-BCD=V_B-MDC．
∵AB=10，
∴MB=PB=5，
又BC=3，BC⊥PC，
∴PC=4，
∴．
又，
∴．
在△PBC中，，
又∵MD⊥DC，
∴，
∴
∴
即点B到平面DCM的距离为．     …（12分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（2）的关键是等积法的使用．