Question

已知曲线D：

x=2 2 cosθ y=2 2 sinθ

与曲线C交于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

2

的椭圆其交点在x轴上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设M是直线x=-4上上的任一点，以OM为直径的圆交曲线D于P，Q两点（O为坐标原点）．若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，交x轴于点E，且

1

2

|PQ|=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

．试求此时弦PQ的长．

Answer 1

分析：（1）圆方程由参数方程可化为x²+y²=8，交x轴于A(-2

2

，0)，B(2

2

，0)，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线x=-4上任一点M（-4，t），则以OM为直径的圆方程为x²+y²+4x-ty=0．又⊙O方程为x²+y²=8，所以直线PQ方程为4x-ty=-8．由此入手能够求出弦PQ的长．

解答：解：（1）圆方程由参数方程可化为x²+y²=8，
交x轴于A(-2

2

，0)，B(2

2

，0)．
依题意，设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，
则a=2

2

，e=

c

a

=

c

2 2

=

2

2

，
得c=2∴b²=a²-c²=8-4=4
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）设直线x=-4上任一点M（-4，t），则以OM为直径的圆方程为x（x+4）+y（y-t）=0，即x²+y²+4x-ty=0．
又⊙O方程为x²+y²=8，∴直线PQ方程为4x-ty=-8，
令y=0，得x=-2，∴点E的坐标为（-2，0）．
由

4x-ty=-8 x2 8 + y2 4 =1

得（t²+32）y²-16ty-64=0
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
则y1+y2=

16t

t2+32

①
y1•y2=-

64

t2+32

②
又

EG

=(x1+2，y1)，

HE

=(-2-x2，-y2)，

EG

=3

HE

∴y₁=-3y₂③
由①②③解得 t=±4
∴PQ方程：x+y=-2或x-y=-2
∴圆心O到x+y=-2或x-y=-2的距离d=

|2|

2

=

2

∴

1

2

|PQ|=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

∴|PQ|=2

6

即弦PQ的长为2

6

．

点评：本题考查椭圆的方程的求法和求弦长的方法，解题时要认真审题，注意参数方程的转化，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．