题目内容

（2012•辽宁）如图，已知椭圆C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
（I）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（II）设动圆C2：x2+y2=
t
2
2
与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：
t
2
1
+
t
2
2
为定值．
分析：（I）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；
（II）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得
t
2
1
+
t
2
2
=a2+b2为定值．
解答：（I）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=
y1
x1+a
(x+a)①
直线A2B的方程为y=
-y1
x2-a
(x-a)②
由①×②可得：y2=
-y12
x12-a2
(x2-a2)③
∵A（x1，y1）在椭圆C0上，
∴
x12
a2
+
y12
b2
=1
∴y12=b2(1-
x12
a2
)
代入③可得：y2=
-b2(1-
x12
a2
)
x12-a2
(x2-a2)
∴
x2
a2
-
y2
b2
=1(x＜-a，y＜0)；
（II）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴x12y12=x32y32
∵A，A′均在椭圆上，
∴b2x12(1-
x12
a2
)=b2x32(1-
x32
a2
)
∴x12-
x14
a2
=x32-
x34
a2

∴a2(x12- x32)= x14-x34
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴x12+x32=a2
∵y12=b2(1-
x12
a2
)，y32=b2(1-
x32
a2
)
∴y12+y32=b2
∴
t
2
1
+
t
2
2
=a2+b2为定值．
点评：本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．
（I）证明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值．
（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=
2
，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．
（椎体体积公式V=
1
3
Sh，其中S为地面面积，h为高）
（2012•辽宁）如图，动圆C1：x2+y2=
t
2
 
，1＜t＜3与椭圆C2：
x2
9
+y2=1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

 [2012·辽宁卷] 如图1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)求三棱锥A′－MNC的体积．

(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)

图1－5

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